Skip to content

Eksteremum funkcji wielu zmiennych

Znajdź ekstrema podanych funkcji :

a) [math]f(x;y)=3(x-1)^{2}+4(y+2)^{2}[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe I rzędu :

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=6(x-1)[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y}=8(y+2)[/math]

[math]\begin{cases} 6(x-1)=0\\8(y+2)=0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} 6×-6=0\\8y+16=0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} 6x=6\\8y=-16\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} x=1\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe II rzędu oraz pochodne mieszane :

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=8[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=0[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=0[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
6 \ 0 \\
0 \ 8
\end{array} \right]=48[/math]

funkcja posiada min. lokalne właściwe ponieważ  [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6[/math]

b) [math]f(x;y)=x^{3}+y^{3}-3xy[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe I rzędu :

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3x[/math]

[math]\begin{cases} 3x^{2}-3y=0\\3y^{2}-3x=0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} x^{2}=y\\y^{2}=x\end{cases}[/math]

[math]x^{4}=x[/math]

[math]x^{4}-x=0[/math]

[math]x(x^{3}-1)=0[/math]

[math]x=0[/math]

[math]x=1[/math]

[math]\begin{cases} x=0\\y=0\end{cases}[/math]          [math]\begin{cases} x=1\\y=1\end{cases}[/math]       [math]\begin{cases} x=1\\y=-1\end{cases}[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe II rzędu oraz pochodne mieszane :

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x[/math]               [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6y[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-3[/math]            [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-3[/math]

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań [math]\begin{cases} x=0\\y=0\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0[/math]               [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-3[/math]            [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-3[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
0 \ -3 \\
-3 \ 0\end{array} \right]=-9[/math] brak ekstremum

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań     [math]\begin{cases} x=1\\y=1\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6[/math]               [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-3[/math]            [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-3[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
6 \ -3 \\
-3 \ 6
\end{array} \right]=36-9=27[/math]

funkcja posiada min. lokalne właściwe ponieważ  [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6[/math]

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań     [math]\begin{cases} x=1\\y=-1\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6[/math]               [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-6[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-3[/math]            [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-3[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
6 \ -3 \\
-3 \- 6
\end{array} \right]=-36-9=-43[/math]  brak ekstremum

c)  [math]f(x;y)=x^{3}+3xy^{2}-51x-24y[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe I rzędu :

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y^{2}-51[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y}=6xy-24[/math]

[math]\begin{cases} 3x^{2}+3y^{2}-51=0\\6xy-24=0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} 3x^{2}+3y^{2}-51=0\\y=\frac{4}{x}\end{cases}[/math]

[math]3x^{2}+3(\frac{4}{x})^{2}-51=0[/math]

[math]3x^{2}+3(\frac{16}{x^{2}})-51=0[/math]

[math]3x^{2}+\frac{48}{x^{2}}-51=0/x^{2}[/math]

[math]3x^{4}+48-51x^{2}=0[/math]

dokonajmy podstawienia [math]x^{2}=t[/math]

[math]3t^{2}-51t+48=0/:3[/math]

[math]t^{2}-17t+16=0[/math]

[math]\Delta=289-4\cdot16=289-64=225[/math]

[math]\sqrt{\Delta}=15[/math]

[math]t_{1}=\frac{17+15}{2}=32=2=16[/math]    [math]t_{2}=\frac{17-15}{2}=\frac{2}{2}=1[/math]

[math]x=1[/math]    [math]x=-1[/math]      [math]x=4[/math]       [math]x=-4[/math]

[math]\begin{cases} x=1\\y=4\end{cases}[/math]      [math]\begin{cases} x=4\\y=1\end{cases}[/math]           [math]\begin{cases} x=-1\\y=-4\end{cases}[/math]        [math]\begin{cases} x=-4\\y=-1\end{cases}[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe II rzędu oraz pochodne mieszane :

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=6y[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=6y[/math]

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań    [math]\begin{cases} x=1\\y=4\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=24[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=24[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
6 \ 24 \\
24 \ 6
\end{array} \right]=36-576=-540[/math]  brak ekstremum

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań    [math]\begin{cases} x=-1\\y=-4\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-6[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-6[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-24[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-24[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
-6 \ -24 \\
-24 \ -6
\end{array} \right]=36-576=-540[/math]  brak ekstremum

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań    [math]\begin{cases} x=4\\y=1\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=24[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=24[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=6[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=6[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
24 \ 6 \\
6 \ 24
\end{array} \right]=576-36=540[/math]

funkcja posiada min. lokalne właściwe ponieważ  [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=24[/math]

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań    [math]\begin{cases} x=-4\\y=-1\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-24[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-24[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-6[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-6[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
-24 \ -6 \\
-6 \ -24
\end{array} \right]=576-36=540[/math]

funkcja posiada max. lokalne właściwe ponieważ  [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-24[/math]

d) [math]f(x;y)=e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe I rzędu :

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}(-2×-2)[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y}=e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}(-2y)[/math]

[math]\begin{cases}e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}(-2×-2)=0/:e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}\\e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}(-2y)=0/:e^{-(x^{2}+y^{2}+2x)}\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}-2×-2=0\\-2y=0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}[/math]

obliczmy teraz pochodne cząstkowe II rzędu oraz pochodne mieszane :

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=e^{-(x^{2}=y^{2}+2x)}[(-2x-2)^{2}-2][/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-(x^{2}=y^{2}+2x)}(4y^{2}-2)[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=e^{-(x^{2}=y^{2}+2x)}(-2y)(-2×-2)[/math]             [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=e^{-(x^{2}=y^{2}+2x)}(-2y)(-2×-2)[/math]

sprawdzimy czy funkcja posiada ekstremum dla pary rozwiązań    [math]\begin{cases} x=-1\\y=0\end{cases}[/math]

[math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2e[/math]           [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-2e[/math]                 [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=0[/math]                   [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=0[/math]

[math]det\left[
\begin{array}{ c c }
-2e \ 0 \\
0 \ -2e
\end{array} \right]=4e^{2}[/math]

funkcja posiada max. lokalne właściwe ponieważ  [math]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2e[/math]

No comments yet

Leave a Reply

Note: XHTML is allowed. Your email address will never be published.

Subscribe to this comment feed via RSS